Свободные и вполне несвободные действия на границе дерева

Конечные автоматы используются в динамике широко. Хорошо известны их применения в теории сдвигов конечного типа, теории подстановочных динамических систем, в изучении машинно порожденных последовательностей. Существует еще один подход к использованию конечных автоматов в вопросах динамики, и этот подход тесно связан с алгеброй.
Группы, порожденные конечными автоматами (типа Мили), или, как их еще называют, самоподобные группы – это в высшей степени интересный объект для исследовния как внутри алгебры, так и далеко за ее пределами, в первую очередь в теории динамических систем (голоморфная динамика, символические системы, фракталы, замощения). Одна из основных моделей задания таких групп – через их действия автоморфизмами на корневых деревьях (например, на бинарном). При этом естественным образом возникает действие на границе дерева как гомеоморфизмами, так и сохраняющими равномерную меру преобразованиями. Таким образом возникают топологическая и метрическая динамические системы. В метрической ситуации такие системы имеют чисто точечный спектр, и фактически любая система с чисто точечным спектром может быть реализована в таком виде.
Доклад будет являться кратким введением в эту науку и в нем будут затронуты некоторые аспекты, которым посвящена недавняя статья докладчика «Некоторые вопросы динамики групповых действий на корневых деревьях», опубликованная в Трудах МИАН (2011, т. 273, с. 72–191). В начале я рассмотрю так называемые вполне несвободные действия, когда стабилизаторы (изотропные подгруппы) всех точек различны. При этом важную роль будет играть класс ветвящихся групп. Затем я перейду к диаметрально противоположному случаю и рассмотрю существенно свободные действия (когда у множества полной меры изотропная подгруппа тривиальна или, что для счетных групп то же самое, когда мера множества неподвижных точек любого неединичного элемента равна нулю).
Будут приведены примеры действий обоих типов. На примерах группы промежуточного роста и знаменитой группы Томпсона $F$ будет показано, как можно восстановить исходную динамическую систему по графу Шрейера, ассоциированному с действием на одной орбите. Будут обсуждены некоторые свойства $C^*$-алгебры, порожденной купмановским представлением действия на границе дерева. С другой стороны, будет объяснено, как можно использовать существенно свободные действия для построения асимптотических экспандеров (экспандеры – это знаменитый класс графов, изучение которых было инициировано Колмогоровым, Пинскером и Маргулисом).
Никаких предварительных знаний не предполагается. Все необходимые определения будут приведены, и докладчик позаботится о том, чтобы доклад был понятен и интересен как профессиональным математикам, так и студентам различных уровней. При этом доклад должен представлять интерес не только с точки зрения динамических систем, но и с точки зрения теории групп, теории графов и теории конечных автоматов.