О топологиях Зариского на кольцах и более общих алгебрах

Мы рассматриваем алгебры, состоящие из абелевой группы с некоторым семейством дополнительных операций, таких, что одноместные операции, полученные из них фиксацией всех аргументов, кроме одного, являются эндоморфизмами этой группы. Частными случаями таких алгебр являются модули, линейные алгебры, дифференциальные кольца и проч. Замкнутая база топологии Зариского на прямом произведении $K^n$ такой алгебры $K$ состоит из конечных объединений множеств решений уравнений $T(x_1,\dots,x_n)=0$ для термов $T(x_1,\dots,x_n)$ от $n$ переменных. Мы показываем, что для любой бесконечной алгебры $K$ этого вида и любого $n$ пространство $K^n$ с топологией Зариского не имеет изолированных точек. В случае $n=1$ и коммутативно-ассоциативных колец $K$ это было установлено Арнаутовым. Наше доказательство использует теорему Хиндмена о конечных произведениях.