Аннотация:
В 1987 году У.Брем и В.Кюнель доказали, что единственным d-мерным многообразием, которое допускает триангуляцию меньше чем с 3d/2+3 вершинами, является d-мерная сфера Sd. Более того, если d-мерное многообразие Md, отличное от Sd, допускает триангуляцию ровно с 3d/2+3 вершинами, то d - одно из четырех чисел 2,4,8 и 16, а Md является многообразием, похожим на проективную плоскость. Это замечательный класс многообразий, появившийся в 1950-х годах в работах Дж.Милнора, Н.Шимады, Дж.Илса и Н.Койпера. Он состоит из многообразий, которые по ряду своих свойств очень близки к настоящим проективным плоскостям RP2, CP2, HP2 и OP2, отвечающим четырем классическим алгебрам с делением R,C,H и O. Таким образом, построение и изучение (3d/2+3)-вершинных триангуляций d-мерных многообразий, похожих на проективные плоскости, представляет особый интерес. До недавнего времени было известно очень мало таких триангуляций: по одной в размерностях 2 и 4 и шесть в размерности 8. Ни одного примера в размерности 16 известно не было.
Я расскажу о серии своих недавних результатов по этой проблеме. Основным из них является решение задачи о существовании 27-вершинных триангуляций 16-мерных многообразий, похожих на октавную проективную плоскость. Построено огромное число (больше 10103) таких триангуляций. Четыре наиболее симметричные триангуляции были найдены при помощи специально разработанного компьютерного алгоритма; остальные получены из этих четырех при помощи специальных перестроек, называемых тройными флипами. Далее я расскажу о построении большого числа новых примеров 15-вершинных триангуляций кватернионной проективной плоскости HP2 и их частичной классификации, а также о результатах про возможные группы симметрий 27-вершинных 16-мерных и 15-вершинных 8-мерных триангулированных многообразий, похожих на проективные плоскости.