Универсальное квантовое матричное тождество Капелли

Я расскажу о квантовом матричном обобщении тождеств Капелли, связывающем дифференциальные и квазидифференциальные операторы с их нормально упорядоченными версиями. Оно позволяет сильно упростить работу с квантовыми имманантами и cut-and-join операторами, а также ввести их $q$-аналоги, сохраняющие многие свойства.
Запись тождества в матричном виде позволяет доказать его для всех алгебр уравнения отражений независимо от вида Геккеевской $R$-матрицы, определяющей алгебру. В частности в классическом пределе мы получаем тождества как для универсальных обёртывающих алгебр Ли $U(\mathfrak{gl}_N)$, так и для универсальных обёртывающих супералгебр Ли $U(\mathfrak{gl}_{(M|N)})$, верные для квантовых имманантов и cut-and-join операторов независимо от вида определяющей их диаграммы Юнга.