Внутренние объемы и гауссовские процессы

Пусть $K$ — выпуклое компактное подмножество евклидова пространства $\mathbb{R}^d$. У каждого такого компакта $K$ есть характеристики, которые не зависят от размерности объемлющего пространства $d$, а зависят только от внутренней геометрии $K$. Они называются внутренними объемами $K$, обозначаются через $V_k(K), \ k=0,1,\ldots,d$ и определяются как коэффициенты в формуле Штейнера. Штейнер показал, что объем $\lambda$-окрестности компакта $K$ представляется многочленом от $\lambda$ с коэффициентами $V_k(K)$ (где нормировка подобрана специальным образом).
Известно еще одно, эквивалентное первому, определение внутренних объемов: $V_k(K)$ — это средний объем проекции $K$ на случайное $k$-мерное линейное подпространство, выбранное по мере Хаара.
Оказалось, что у внутренних объемов существует гауссовское представление, которое позволяет изучать их с вероятностной точки зрения. Впервые связь внутренних объемов с гауссовскими процессами обнаружили Судаков и Цирельсон.
В обзорном докладе мы разберем историю изучения внутренних объемов, их связь с гауссовскими процессами, изучим конические аналоги внутренних объемов, а также рассмотрим новые результаты по данной теме. Доклад основан на совместной работе с Д.Н.Запорожцем.