Гомотопические группы сфер и количественные леммы Шпернера

Рассматриваются обобщения леммы Шпернера для триангуляции $Т (m+1)$-шара вершины которой раскрашены в $n+2$ цвета. Правильная раскраска $T$ на границе шара определяет симплициальное отображение $f$ $m$-сферы в $n$-сферу и элемент $[f]$ в соответствующей гомотопической группе сферы. Для любого элемента $x$ в этой группе определяется положительное целое число $\Pi(x)$. Для некоторых случаев этот инвариант можно найти явно. А именно, если $m=n$, то это число является степенью отображения $f$. Для случая $m = 3$; $n = 2$ найдены нижняя граница для  $\Pi(x)$, где $x$ — инвариант Хопфа, и доказано, что  $\Pi(1) = \Pi(2) = 9$. Основным результатом этой работы является теорема о том, что число $n$-симплексов в $T$, вершины которых окрашены в разные цвета, не меньше $\Pi([f])$. Для доказательства этой теоремы используется обобщение теоремы Понтрягина для относительных оснащенных кобордизмов.