Применение процессов Беллмана–Харриса к анализу ветвящихся случайных блужданий

Для модели критического каталитического ветвящегося случайного блуждания по целочисленной решетке изучаются асимптотики (по времени) среднего числа частиц в каждой точке решетки и вероятности наличия частиц в этой точке. Доказаны предельные теоремы для локальных численностей. Предполагается, что процесс начинается в произвольной фиксированной точке. Доказательства используют вспомогательный ветвящийся процесс Беллмана–Харриса с шестью типами частиц. Для модели (неветвящегося) случайного блуждания по целочисленной решетке введено новое понятие «времени достижения с запретом» и изучена асимптотика хвоста его функции распределения. Доказаны теоремы о совместном распределении численностей частиц в двумерном ветвящемся процессе Беллмана–Харриса. Эти результаты применяются к совместному распределению чисел частиц в источнике и вне его для ветвящегося случайного блуждания по целочисленной плоскости.