О классах устойчивой изотопической связности градиентно-подобных диффеоморфизмов поверхностей

Проблема существования дуги с не более, чем счетным (конечным) числом бифуркаций, соединяющей структурно устойчивые системы (системы Морса-Смейла) на многообразиях вошла в список пятидесяти проблем Палиса-Пью «Fifty problems in dynamical systems» под номером 33. В 1976 году Ш. Ньюхаусом, Дж. Палисом, Ф. Такенсом в работе «Stable arcs of diffeomorphisms» было введено понятие устойчивой дуги, соединяющей две структурно устойчивые системы на многообразии. Такая дуга не меняет своих качественных свойств при малом шевелении. В том же году Ш. Ньюхаус и М. Пейшото доказали существование простой дуги (содержащей лишь элементарные бифуркации) между любыми двумя потоками Морса-Смейла. Из результата работы Ж. Флейтас вытекает, что простую дугу, построенную Ньюхаусом и Пейшото всегда можно заменить на устойчивую.
Для диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на многообразиях любой размерности известны примеры систем, которые не могут быть соединены устойчивой дугой. Препятствия появляются уже для сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов окружности, которые соединяются устойчивой дугой только в случае совпадения чисел вращения. В размерности два появляются дополнительные препятствия к существованию устойчивых дуг между изотопными диффеоморфизмами. Они связаны с наличием периодических точек и гетероклинических пересечений. В рамках доклада планируется рассмотреть вопрос существования устойчивых дуг для некоторые классов градиентно-подобных диффеоморфизмов на поверхностях.