Преобразование Лежандра невыпуклых функций и структурно устойчивые вырожденные особенности интегрируемых гамильтоновых систем

В первой части доклада будут обсуждаться геометрические свойства преобразования Лежандра гладких функций. Функция f(x), вторая производная которой не обращается в нуль, называется выпуклой. Известно, что преобразование Лежандра преобразует выпуклые функции в выпуклые и является инволютивным (т.е. любая выпуклая функция является преобразованием Лежандра некоторой другой выпуклой функции, а именно, своего преобразования Лежандра). Если функция не является выпуклой (т.е. ее график имеет точку перегиба), то ее преобразование Лежандра будет иметь точку возврата (и является многозначной функцией).
Вторая часть доклада посвящена особенностям интегрируемых гамильтоновых систем. Интегрируемая система задается набором из n функций на симплектическом 2n-мерном многообразии M. Функции этого набора попарно находятся в инволюции. Возникает слоение Лиувилля на M, слоями которого являются связные компоненты совместных множеств уровня этих функций. Также возникает гамильтоново R^n-действие, порожденное функциями данного набора. Мы опишем примеры вырожденных локальных особенностей (т.е. особых орбит) слоения Лиувилля на 6-мерных симплектических многообразиях. Для каждой из этих особенностей с помощью преобразования Лежандра мы построим бифуркационную диаграмму и докажем, что эта особенность структурно устойчива (несмотря на ее вырожденность), т.е. топология слоения Лиувилля вблизи данной особой орбиты сохраняется при любых малых интегрируемых возмущениях системы.