Интегрируемая биллиардная система в однородных средах, разделенных софокусными квадриками

В докладе пойдет речь, о новой, по всей видимости, интегрируемой системе.
Представим, что в области, ограниченной эллипсом, находятся две среды разной оптической плотности. Граница раздела сред — софокусная квадрика. Световой луч на границе раздела сред либо преломляется по закону Снеллиуса, либо испытывает полное внутреннее отражение. Экспериментально нетрудно проверить, что такая система нe может быть интегрируремой. Если же закон преломления модифицировать: синусы падающего и преломленного лучей заменить на косинусы, то у такой системы появится первый интеграл интеграл.
Любопытно, что в некоторых случаях этот первый интеграл принимает значения на окружности, т.е. его значение определено с точностью до прибавления некоторой вполне определенной константы. Будут предъявлены явные формулы для такие первых интегралов в разных ситуациях, явно описаны поверхности постоянного значения первого интеграла и их бифуркации в окрестности критического значения первого интеграла.