Четырёхмерные гиперэллиптические многообразия, определяемые векторными раскрасками многогранников

$n$-мерное многообразие называется гиперэллиптическим, если на нём существует инволюция, пространство орбит которой гомеоморфно сфере. Такая инволюция называется гиперэллиптической.
Пользуясь понятиями гамильтонового цикла, тэта-подграфа и $K_4$-подграфа на трёхмерном прямоугольном многограннике, А.Д.Медных и А.Ю.Веснин построили примеры трёхмерных гиперэллиптических многообразий в геометриях $\mathbb{R}^3, \mathbb{S}^3, \mathbb{L}^3, \mathbb{L}^2\times\mathbb{R}$ и $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$.
Мы обобщаем эту конструкция на $n$-мерный случай. В этом случае мы вводим понятие гамильтонова $C(n,k)$-подкомплекса в границе простого $n$-мерного многогранника c $m$ гипергранями и показываем, что каждый такой подкомплекс $\Gamma$ отвечает некоторой подгруппе ранга $m-k-1$ в $\mathbb{Z}_2^m$, свободно действующей на вещественном момент-угол многообразии $\mathbb{R}Z_P$, пространство орбит $N(P,\Gamma)$ которой является многообразием, склеенным из $2^{k+1}$ копий многогранника. На $N(P,\Gamma)$ действует группа $\mathbb{Z}_2^{k+1}$, и в ней есть гиперэллиптическая инволюция.
Мы классифицируем все четырёхмерные геометрии, которые являются произведениями евклидовых, сферических и гиперболических геометрий и могут быть реализованы на таких гиперэллиптических многообразиях. Оказывается, $\mathbb{S}^4, \mathbb{S}^3\times\mathbb{R}, \mathbb{S}^2\times \mathbb{S}^2, \mathbb{S}^2\times \mathbb{R}^2, \mathbb{S}^2\times \mathbb{L}^2$ и $\mathbb{L}^2\times \mathbb{L}^2$ реализуются таким образом, а $\mathbb{R}^4, \mathbb{L}^4, \mathbb{L}^3\times \mathbb{R}$ и $\mathbb{L}^2\times \mathbb{R}^2$ не реализуются.
Подробности можно найти в публикации
Erokhovets N. Four-manifolds defined by vector-colorings of simple polytopes, arXiv:2407.20575v1.