Пополнения Боусфилда-Кана подстягиваемых копредставлений и $D(2)$-проблема

Пусть $X$ - трёхмерный CW-комплекс и предположим, что $H^3(X,A)=0$ для любой $\pi_1X$-локальной системы коэффициентов $A$. Уолл спрашивает: «Верно ли, что в этом случае $X$ гомотопически эквивалентен 2-комплексу?» Указанная $D(2)$-проблемма эквивалентна гипотезе Эйленберга-Ганя: группа когомологической размерности 2 имеет двумерное пространство Эйленберга-Маклейна. Следующий ландшафт окружает гипотезу Уайтхеда и D(2)-проблему Уолла:
1. Ваджид Маннан показывает, что если имеется контрпример к $D(2)$-проблеме Уолла, то такой 3-комплекс $X$ гомотопически эквивалентен $+$-конструкции для некоторого 2-комплекса $Y$ относительно некоторой нормальной совершенной подгруппы в $\pi_1Y$;
2. Классический результат Адамса гласит, что если гипотеза асферичности Уайтхеда не верна, то фундаментальная группа такого 2-комплекса содержит нетривиальную нормальную совершенную подгруппу ($\mathcal{A}$ - суперсовершенный радикал Адамса). И тогда не асферичность эквивалентна не асферичности накрытия, соответствующего $\mathcal{A}$, которое, как известно, является ацикличным 2-комплексом;
3. Бествина и Брэди сконструировали комплекс, который согласно Хоуви гомотопически эквивалентен $+$-конструкции для копредставления некоторой группы Артина. И этот комплекс либо гомотопически не эквивалентен 2-комплексу, либо имеется контрпример к гипотезе Уайтхеда (допускается, что это контрпример к обеим гипотезам).
Структурный результат состоит в описании совершенного радикала фундаментальной группы конечного подстягиваемого копредставления и применим к указанным проблемам.
Доклад пройдёт через зум. Идентификатор: 849 1326 0137 Код: 991937