Фрейм-множество сдвинутой sinc-функции

Одной из главных тем частотно-временного анализа является поиск представления произвольной функции $f\in L^2(\mathbb{R})$ как суммы хорошо локализованных функций в частотно-временной плоскости. В частности на этот вопрос пытается ответить теория систем Габора. Для $g\in L^2(\mathbb{R})$ рассмотрим набор
$$ \mathcal{G}(g;\alpha,\beta)=\{\pi_{\alpha n, \beta m} g\}_{m,n\in\mathbb{Z}}, $$
где $\pi_{x,w}g(t)=e^{2\pi i \omega t}g(t-x)$ и $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2_+$. Такой набор называется системой Габора функции $g(t)$. Если вдобавок выполнено
\begin{equation} A\|f\|^2_2\leq \sum_{m,n}|(f, \pi_{\alpha n, \beta m}g)|^2\leq B\|f\|^2_2, \quad f\in L^2(\mathbb{R}), \notag \end{equation}
то набор $\mathcal{G}(g;\alpha,\beta)$ называется фреймом Габора, а множество
$$ \mathcal{F}_g =\{(\alpha,\beta): \mathcal{G}(g;\alpha,\beta) \quad \text{система Габора}\} $$
называется фрейм-множеством функции $g(t)$. Полное описание фрейм-множеств $\mathcal{F}_g$ известно только для весьма небольшого количества примеров, и, несмотря на многочисленные попытки, крайне малое количество результатов известно на данный момент.
Доклад будет посвящен следующему результату: для мнимого сдвига sinc-функции
$$ g(t)=\frac{\sin\pi b(t-iw)}{t-iw}, \quad b,w\in\mathbb{R}\setminus\{0\} $$
ее фрейм-множество описывается формулой
$$ \mathcal{F}_g=\{(\alpha,\beta): \alpha\beta\leq 1, \beta\leq|b|\}. $$
Также будет показано, что $\mathcal{F}_g=\{(\alpha,\beta): \alpha\beta\leq 1 \}$ для функций $g(t) = \dfrac{1}{t-iw}\biggl(1-\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_ke^{2\pi i b_k t}\biggr)$, где $\sum\limits_{k\geq 1}|a_k|e^{2\pi|w|b_k}<1$, $wb_k<0$.
Доклад построен на кратком изложении результатов работы [1].