Еще одна биллиардная задача

Пусть $(M, g)$ – риманово многообразие, $\Omega$ – область на нем с гладкой границей $\Gamma$ и $\phi$ – гладкая функция на $M$, принимающая положительные значения на $\Omega$ и обращающаяся в нуль на $\Gamma$ так, что ее дифференциал $d \phi$ в точках поверхности $\Gamma$ отличен от нуля. Следуя работам С. Доброхотова, В. Назайкинского и др., мы изучаем геодезический поток метрики $G = g/\phi$. Расстояние в метрике $G$ от любой точки области $\Omega$ до $\Gamma$ конечно. Поэтому геодезический поток неполон. В. Назайкинским показано, что геодезический поток в окрестности $\Gamma$ можно регуляризовать. Мы предлагаем другую (более простую) регуляризацию. Благодаря существованию этих регуляризаций возникает естественный закон отражения геодезической от $\Gamma$, что приводит к некоторой (не вполне стандартной) биллиардной задаче в $\Omega$.
Проведено исследование биллиардной динамики в окрестности границы. Получен аналог КАМ-теоремы Лазуткина.
Задача мотивирована коротковолновым приближением в уравнении для поверхностных волн в бассейне с функцией глубины $\phi$.