Характер Черна‒Дольда, тэта-дивизоры и числа Хирцебруха

До сих пор открытой является проблема Милнора, 1958 г.:
Какие числа Черна могут быть у гладких комплексных неприводимых алгебраических многообразий?
Гладкое вещественное многообразие $M^n$ называется $U$-многообразием, если существует вложение $M^n \subset \mathbb{R}^N$ с комплексным нормальным расслоением. Теория комплексных кобордизмов $U^*(\cdot)$, построенная по $U$-многообразиям, является ключевой мультипликативной теорией когомологий в аппарате алгебраической топологии. В результате вычисления кольца скаляров $\Omega_U$ этой теории Дж. Милнором и С.П. Новиковым (1960 г.) проблема Милнора получила формулировку:
Описать $U$-многообразия, у которых числа Черна совпадают с числами Черна гладкого комплексного неприводимого алгебраического многообразия.
Важную роль в теории комплексных кобордизмов играет характер Черна–Дольда – преобразование $ch_U : U^*(X) \to H^*(X;\Omega_U\otimes\mathbb{Q})$. Он используется в формуле Римана–Роха–Хирцебруха, связывающей алгебраическую топологию с алгебраической геометрией. Развитие этой связи обязано формальной группе геометрических кобордизмов, введённой С.П. Новиковым и А.С. Мищенко в 1967 г. Преобразование $ch_U$ определяется рядом $ch_U(c_1(\xi))$, где $c_1(\xi)\in U^2(\mathbb{C}P^{\infty})$ – первый класс Черна универсального одномерного комплексного расслоения. Теория характера Черна–Дольда была развита В.М. Бухштабером в работе 1970 г.; им было показано, что ряд $ch_U(c_1(\xi))$ реализует экспоненту формальной группы геометрических кобордизмов. Это открыло глубокие связи с теорией чисел ввиду результата Д. Квиллена, отождествляющего формальную группу геометрических кобордизмов с универсальной одномерной формальной группой Лазара.
В [1] решена задача, стоявшая более 50 лет в рамках проблемы Милнора: доказано, что коэффициент при $x^{n+1}/(n+1)!$ ряда $ch_U(c_1(\xi))$ реализуется гладким комплексным неприводимым алгебраическим многообразием. А именно, в качестве такого многообразия можно взять тэта-дивизор $\theta^n$ общего абелева многообразия размерности $n+1$.
В [2] получена формула, выражающая класс $\gamma_n[M^{2n}]$ любого $U$-многообразия $M^{2n}$ в виде полинома с целыми коэффициентами от классов кобордизмов $[\theta^k],\, k=1,\ldots,n$; коэффициенты полинома в явном виде выражены через числа Черна многообразия $M^{2n}$. Здесь $\gamma_n$ – знаменатели полиномов Тодда, вычисленные Ф. Хирцебрухом в 1956 г.

Список литературы

1. V. M. Buchstaber, A. P. Veselov, “Chern–Dold character in complex cobordisms and theta divisors”, Adv. Math., 449 (2024), 109720, 35 pp., arXiv: 2007.05782    
2. В. М. Бухштабер, А. П. Веселов, “Многочлены Тодда и числа Хирцебруха”, Геометрия, топология, математическая физика, Сборник статей. К 85-летию академика Сергея Петровича Новикова, Труды МИАН, 325, МИАН, М., 2024, 81–92    ; Proc. Steklov Inst. Math., 325 (2024), 74–85