К-стабильность и корегулярность многообразий Фано

В представленных работах, посвященных многообразиям Фано и их обобщениям, изучаются такие инварианты многообразий Фано, привлекшие внимание исследователей в последние годы, как К-стабильность и корегулярность.
Понятие регулярности было введено В. В. Шокуровым. Оно измеряет комбинаторную сложность двойственного комплекса дивизора на алгебраическом многообразии. Если максимизировать эту величину по всем нормированным плюриантиканоническим дивизорам границы, мы придем к понятию (ко-)регулярности многообразия Фано, предложенному Х. Морагой. В своих работах Морага и соавторы изучили это понятие и показали, что оно обладает различными интересными свойствами.
Однако вычисления этого инварианта для конкретных семейств многообразий Фано были известны лишь в простейших случаях. В работе Авилова, Логинова, Пржиялковского, (ко-)регулярность была посчитана для “почти всех” трехмерных гладких многообразий Фано. В этой работе нашли применение различные аспекты теории особенностей, как классической (особенности функций, рассматриваемые Арнольдом), так и более современной (техника особенностей пар).
Другим интересным инвариантом многообразий Фано и их обобщений является К-стабильность. Понятие К-стабильности, тесно связанное с существованием метрики Кэлера-Эйнштейна на многообразиях Фано, играет важную роль в современной бирациональной геометрии. Одним из главных приложений этой теории является возможность построения «хороших» пространств модулей для многообразий Фано. Вопрос нахождения всех К-стабильных элементов в каждом семействе многообразий Фано представляет большой интерес, и эта проблема не решена до конца даже в размерности 3. В совместной работе с Г. Белоусовым эта задача была решена для всех трехмерных многообразий Фано степени 24 с числом Пикара 4. В работе “K-polystability of 3-dimensional log Fano pairs of Maeda type” задача о К-стабильности решается для лог Фано пар типа Маеды в размерности три. Результат об ограниченности для К-стабильных лог Фано пар типа Маеды был обобщен на произвольную размерность в совместной работе с Ch. Zhou.