Аннотация:
В цикле статьей, кульминацией которого является [1], разработан подход к теореме
Делиня‒Римана‒Роха при помощи локальных методов и доказан локальный аналог
данной теоремы. Теорема Делиня‒Римана‒Роха устанавливает изоморфизм между
некоторыми естественным образом определенными линейными расслоениями на
многообразии модулей пар, состоящих из гладкой проективной кривой и линейного
расслоения на ней.
Автор исследует это многообразие модулей, вводя дополнительные данные
к рассматриваемым объектам: точка на кривой, локальный параметр в ней и
тривиализация линейного расслоения в формальной окрестности точки.
Существенное преимущество такого подхода заключается в том, что на возникающем
многообразии модулей определено (почти) свободное и транзитивное действие группы,
порожденной автоморфизмами формального проколотого диска и обратимыми
функциями на нем. В результате теорема Делиня‒Римана‒Роха становится утверждением
об изоморфизме между мультипликативными центральными расширениями данной
группы, которое и является основным результатом, полученным в работах автора.
Важно отметить, что принадлежащее автору доказательство никак не использует
теорему Делиня‒Римана‒Роха, а напротив, основано на локальных рассмотрениях и
использует разнообразную технику работы с кольцами рядов Лорана, а также явные
вычисления в когомологиях алгебр Ли. В процессе найденного доказательства становится
явна видна причина, откуда в формуле из теоремы Делиня‒Римана‒Роха берутся
загадочные коэффициенты 6 и 12.
D. V. Osipov, “Local analog of the Deligne–Riemann–Roch isomorphism for line bundles in relative dimension $1$”, Изв. РАН. Сер. матем., 88:5 (2024), 127–173, arXiv: 2308.06049; D. V. Osipov, “Local analog of the Deligne–Riemann–Roch isomorphism for line bundles in relative dimension 1”, Izv. Math., 88:5 (2024), 930–976, arXiv: 2308.06049
Д. В. Осипов, “Формальный коцикл Ботта–Тёрстона и часть формальной теоремы Римана–Роха”, Алгебра, арифметическая, алгебраическая и комплексная геометрия, Сборник статей. Посвящается памяти академика Алексея Николаевича Паршина, Труды МИАН, 320, МИАН, М., 2023, 243–277, arXiv: 2211.15932; D. V. Osipov, “Formal Bott–Thurston Cocycle and Part of a Formal Riemann–Roch Theorem”, Proc. Steklov Inst. Math., 320 (2023), 226–257, arXiv: 2211.15932
Д. В. Осипов, “Детерминантное центральное расширение и $\cup$-произведения $1$-коциклов”, УМН, 78:4(472) (2023), 207–208; D. V. Osipov, “Determinant central extension and $\cup$-products of 1-cocycles”, Russian Math. Surveys, 78:4 (2023), 791–793