Конструктивное восстановление значений и свойств алгебраической функции по ее ростку

Пусть $f$ — алгебраическая функция степени $m+1$ и $f_\infty$ — ее голоморфный росток в точке $\infty$. В работе [1] на физическом уровне строгости, а позже в [2] в полной строгости, было показано, что корни уравнения $\sum\limits_{j=0}^m Q_{n,j}(z)w^j(z)=0$, где $Q_{n,j}$ — полиномы Эрмита–Паде типа 1 порядка $n$ для набора ростков $[1,f_\infty,\dots,f_\infty^m]$, асимптотически восстанавливают значения $f$ на первых $m$ листах разбиения Наттолла ее римановой поверхности на листы. В частности, отношения $Q_{n,m-1}/Q_{n,m}$ конструктивно восстанавливают сумму значений $f$ на первых $m$ наттолловских листах. В [3] была введена в рассмотрение полиномиальная $m$-система Эрмита–Паде, а в [4] было показано, что в случае алгебраической функции $f$ степени $m+1$ общего положения для любого $k=1,\dots,m$ корни уравнения $\sum\limits_{j=0}^k P^{(k)}_{n,j}(z)w^j(z)=0$, где $P^{(k)}_{n,j}$ — $k$–е полиномы $m$-системы Эрмита–Паде, асимптотически восстанавливают значения $f$ на первых $k$ листах разбиения Наттолла ее римановой поверхности на листы. В частности, отношения $P^{(k)}_{n,k-1}/P^{(k)}_{n,k}$ конструктивно восстанавливают сумму значений $f$ на первых $k$ наттолловских листах. Таким образом, мы конструктивно восстанавливаем $m$ значений $(m+1)$-значной функции $f$. В работе [5] было показано, как с помощью нулей дискриминанта полинома $\sum\limits_{j=0}^m Q_{n,j}(z)w^j(z)$ можно асимптотически восстановить все точки ветвления $f$.

Список литературы

1. J. Nuttall, “Asymptotics of diagonal Hermite–Pade polynomials”, J. Approx. Theory, 42:4 (1984), 299–386
2. А. В. Комлов, Р. В. Пальвелев, С. П. Суетин, Е. М. Чирка, “Аппроксимации Эрмита–Паде для мероморфных функций на компактной римановой поверхности”, УМН, 72:4(436) (2017), 95–130              ; A. V. Komlov, R. V. Palvelev, S. P. Suetin, E. M. Chirka, “Hermite–Padé approximants for meromorphic functions on a compact Riemann surface”, Russian Math. Surveys, 72:4 (2017), 671–706            
3. A. V. Komlov, “Polynomial Hermite–Padé $m$-system and reconstruction of the values of algebraic functions”, Trends Math., 12, 2021, 113–121      
4. А. В. Комлов, “Полиномиальная $m$-система Эрмита–Паде для мероморфных функций на компактной римановой поверхности”, Матем. сб., 212:12 (2021), 40–76          ; A. V. Komlov, “The polynomial Hermite-Padé $m$-system for meromorphic functions on a compact Riemann surface”, Sb. Math., 212:12 (2021), 1694–1729        
5. А. В. Комлов, Р. В. Пальвелев, “Нули дискриминантов, построенных по полиномам Эрмита–Паде алгебраической функции, и их связь с точками ветвления”, Матем. сб., 215:12 (2024)       [A. V. Komlov, R. V. Palvelev, “Zeros of discriminants constructed from Hermite–Padé polynomials of an algebraic function and their relation to branch points”, Mat. Sb.]