Формула суммирования Вороного для L-рядов Загье

Формулы суммирования Вороного, наряду с формулой суммирования Пуассона, являются одним из основных инструментов аналитической теории чисел. С их помощью становится возможным изучать средние значения коэффициентов Фурье автоморфных форм, возникающие при решении различных теоретико-числовых задач, часто выходящих за рамки теории автоморфных форм. Изначально Вороной доказал формулу суммирования для функции числа делителей и с её помощью улучшил остаток в известной проблеме делителей Дирихле. В данном случае связь с автоморфными формами обусловлена тем, что функция числа делителей является коэффициентом Фурье классических рядов Эйзенштейна. К настоящему времени формулы суммирования Вороного получены для коэффициентов Фурье достаточно широкого класса автоморфных форм. В частности, в нашей работе доказана формула Вороного для значений L-рядов Загье на критической прямой. Данные ряды естественным образом возникают при изучении свойств геодезических на верхней полуплоскости, а также при изучении моментов симметричных квадратичных L-функций. Кроме того, L-ряды Загье связаны с коэффициентами Фурье рядов Эйзенштейна‒Маасса полуцелого веса. Принимая во внимание данный факт, мы для начала доказали общий вариант формулы Вороного для форм Маасса полуцелого веса и конгруэнц-подгруппы Гекке уровня 4 и уже из неё в частном случае вывели формулы суммирования для L-рядов Загье. Наше доказательство основано на изучении свойств рядов Дирихле коэффициентов Фурье рядов Эйзенштейна полуцелого веса.