Поперечники и жесткость

В работе изучаются поперечники конечных систем функций. Хорошо известно, что ортонормированная система из $N$ функций является “жёсткой” в $L_2$ в том смысле, что элементы этой системы нельзя хорошо приблизить в $L_2$ линейным подпространством размерности существенно меньшей $N$. В пространствах $L_q,\, q<2$, это уже не так. Например, как было ранее установлено автором, система Уолша хорошо приближается пространствами размерности $o(N)$ в $L_q$ при $q<2$. В работе получены достаточные условия жёсткости. А именно, доказано, что системы независимых в теоретико-вероятностном смысле (например, система Радемахера) или безусловных по распределению функций будут жёсткими в $L_1$. При $1<q<2$ для жёсткости достаточно обобщённой $q’$-лакунарности, т. е. свойства $S_{q’}$.
Важным понятием, используемым в работе, является усреднённый колмогоровский поперечник (вместо приближения всех точек множества приближаем “в среднем”). Он позволяет связать поперечники конечных систем функций в $L_q$ и поперечники случайных векторов в $\mathbb{R}^N$. Это даёт новые возможности для получения нижних оценок поперечников конечномерных множеств.
Отметим, что понятие функции жёсткости матриц, возникшее в Computer Science, в точности эквивалентно понятию усреднённого поперечника конечного набора векторов в метрике Хэмминга. В работе получены некоторые новые оценки для функции жёсткости специальных матриц.