Степенные структуры над кольцами Гротендика и их приложения

Понятие степенной структуры над кольцом было введено в моей с соавторами работе около 20 лет назад. Степенная структура над кольцом R (коммутативном, ассоциативном, с единицей) это – метод придать смысл выражению вида (A(t))^m, где A(t) = 1+a_1t+a_2t^2+ ... \in 1+tR[[t]] (т. е. a_i \in R) и m \in R, как ряду из 1+tR[[t]], так, чтобы выполнялись все обычные свойства степенной функции: (A(1)(t)A(2)(t))^m = (A(1)(t))^m(A(2)(t))^m, (A(t))^{m_1+m_2} = (A(t))^{m_1}(A(t))^{m_2}, (A(t))^{m_1m_2}=((A(t))^{m_2}^{m_1} , ... Изначальная идея была построить её над кольцом Гротендика K0(VarC) комплексных квазипроективных пространств для получения “мотивных” аналогов формул, содержащих в экспоненте эйлерову характеристику: формула А’Кампо для дзета-функции монодромии в терминах разрешения, формула Макдональда для производящего ряда эйлеровых характеристик симметрических степеней пространства. Над кольцом Гротендика K0(VarC) была построена естественная (“геометрическая”) степенная структура. Понятие степенной структуры тесно связано с понятием (пре-)lambda-структуры, но к нему не сводится. (Над кольцами типа K0(VarC) существует множество lambda-структур, но, видимо, мало степенных структур.) Как оказалось, степенные структуры над кольцом Гротендика K0(VarC) и над его модификациями могут эффективно использоваться для описания и получения производящих рядов классов (в кольцах Гротендика) некоторых пространств типа конфигурационных. Будут показаны некоторые примеры применения геометрической степенной структуры над кольцом K0(VarC).