О распределении сумм независимых слагаемых

Сначала мы сформулируем результаты, доказанные в недавних работах докладчика:
А. Ю. Зайцев, Оценки устойчивости по количеству слагаемых для распределений последовательных сумм независимых одинаково распределенных векторов. — Зап. научн. семин. ПОМИ, 525, 86–95 (2023). English version: arXiv:2310.20283.
А. Ю. Зайцев, О близости распределений последовательных сумм в метрике Прохорова. — Теория вероятн. и ее примен. 69, No. 2 (2024), 272–284.
Пусть $X, X_1,\dots, X_n,\dots$ – независимые одинаково распределенные $d$-мерные случайные векторы с произвольным общим распределением $F$. Пусть $F_{(n)}$ – распределение нормированного случайного вектора $X/\sqrt{n}$. Тогда $ (X_1+\dots+X_n)/\sqrt{n}$ имеет распределение $F_{(n)}^n$ (степень понимается в смысле свертки). Пусть $\pi(\,\cdot\,,\,\cdot\,)$ – расстояние Прохорова. Основные результаты состоят в следующем. Для любого $d$-мерного распределения $F$ существуют $c_1(F)$ и $c_2(F)>0$, зависящие только от $F$ и такие что
$$ \pi(F_{(n)}^n, F_{(n)}^{n+1})\leq \frac{c_1(F)}{\sqrt n}, $$
и
$$ \rho_{\mathcal{C}_d}(F^n, F^{n+1})\leq \frac{c_2(F)}{\sqrt n}, $$
где
$$\rho_{\mathcal{C}_d}(F, G) = \sup\limits_{A\in\mathcal{C}_d } {|F\{A\} - G\{A\}|},$$
а $\mathcal{C}_d $ – совокупность выпуклых подмножеств ${\mathbf R}^d $. При этом второе неравенство справедливо для любых распределений $F$, кроме тех, для которых оно заведомо неверно. Речь идет о распределениях, сосредоточеных на аффинных гиперплоскостях, не содержащих начало координат. Ясно, что для таких $F$
$$ \rho_{\mathcal{C}_d}(F^n, F^{n+1}) =1. $$

Затем мы обсудим многомерный вариант второй равномерной предельной теоремы Колмогорова. При его доказательстве существенно использовались теоретикочисловые методы, предложенные в начале восьмидесятых годов Араком. Эти методы он использовал также при доказательстве своего знаменитого результата об одномерном варианте первой равномерной предельной теоремы Колмогорова с оценкой порядка $O(n^{-2/3})$. Предполагается обсудить идеи, на которых основаны методы Арака.
Т. В. Арак, А. Ю. Зайцев, Равномерные предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. — Тр. МИАН СССР 174 (1986).
Ф. Гётце, А. Ю. Зайцев, Об альтернативных аппроксимирующих распределениях в многомерном варианте второй равномерной предельной теоремы Колмогорова . — Теория вероятн. и ее примен. 67, No. 1 (2022), 3–22.