Топология пространств функций Морса на поверхностях

Пусть $M$ — гладкая связная ориентируемая замкнутая поверхность рода $g$. Рассмотрим морсовские функции на $M$, у которых фиксировано количество критических точек каждого индекса 0, 1, 2 (точки локальных минимумов, седловые точки и точки локальных максимумов). Для удобства предположим, что не менее чем $3-2g$ критических точек отмечены разными метками (т.е. покрашены в разные цвета или занумерованы). Цель доклада — изучить и описать гомотопический тип пространства $F=F(M)$ таких функций, снабженное $C^\infty$-топологией. Будет описан конечномерный счетный (и конечный при $g=0$) полиэдр $K$ (комплекс «оснащенных функций Морса»), состоящий из блоков — «косых цилиндрических ручек». Блоки (т.е. ручки) полиэдра $K$ находятся во взаимно однозначном соответствии с «классами изотопности» функций из $F$, причем (аналогично клеточному разбиению) каждая ручка имеет индекс и приклеена своей подошвой к объединению ручек меньших индексов.
Теорема 1. Пространство $F$ гомотопически эквивалентно прямому произведению $R$ и $K$, где $R$ — это $SO(3)$, $T^2$ или точка — в зависимости от $g=0,1$ или больше.
Теорема 2. Если $g=0$, то $(-1)^q \chi(K)$ равно количеству клеточных разбиений поверхности $M$, имеющих $p$ вершин, $q$ ребер и $r$ граней, с точностью до изотопии.
Примеры. Если количество седловых критических точек равно 2, то полиэдр $K$ является ориентированной хордовой диаграммой (которая будет построена на докладе), в которой хорды и ориентированные циклы — это ручки индексов 1 и 0 соответственно. В частности, полиэдр $K$ гомотопически эквивалентен букету 4, 6 или $\infty$ окружностей.