Аннотация:
Доклад посвящён специальному классу неравенств в духе теоремы
вложения Соболева для предельного показателя, в которых ключевую
роль играет векторная природа функций и дифференциальных операторов. Иногда этот класс называют неравенствами Бургейна–Брезиса.
Рассмотрим следующую версию теоремы вложения Соболева для предельного показателя:
$||\nabla f||_{L_{d/(d-1)}} \lesssim ||\nabla f||_{L_1}$,
мы рассматриваем гладкие функции $f$ с компактным носителем в пространстве
$\mathbb{R}^d$, а значок $\lesssim$
указывает, что мультипликативная постоянная в неравенстве не зависит
от выбора функции $f$. Это неравенство неверно (не стоит путать его
с вложением Гальярдо–Ниренберга–Соболева
$||f||_{L_{d/(d-1)}} \lesssim ||\nabla f||_{L_1}$,
которое верно).
В 2010 году В. Г. Мазья в качестве гипотезы предложил
нелинейную модификацию упомянутого неверного неравенства: пусть теперь
$\Phi: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$
— положительно однородная степени $d/(d-1)$ функция;
в таком случае,
$$
\biggl|\int\limits_{\mathbb{R}^d} \Phi(\nabla f(x))\,dx \biggr| \lesssim ||\Delta f||^{\frac{d}{d-1}}_{L_1} ,
$$
коль скоро $\Phi$ удовлетворяет условию сокращения
$\int_{S^{d-1}} \Phi(\zeta)\,d\sigma(\zeta)=0$;
символом $S^{d-1}$
обозначена единичная сфера в пространстве $\mathbb{R}^d$.
В 2021
году мне удалось доказать гипотезу Мазьи и если угодно, развить теорию
неравенств более общего вида
$$
\biggl|\int\limits_{\mathbb{R}^d} \Phi(K * g(x))\,dx \biggr| \lesssim ||g||^{\frac{d}{d-\alpha}}_{L_1} ,
$$
где $K$ — однородное степени $\alpha - d$ ядро, а функция $\Phi$ однородна степени $d/(d - \alpha)$.
В настоящем докладе я расскажу о распространении этих результатов на общность функций, заданных на областях с приличной границей,
а также о любопытных задачах о продолжении гармонических и субгармонических функций, в этой связи возникающих.
Работа поддержана грантом РНФ 24-71-10011
Обратная связь: