Remarkable properties of the full symmetric Toda system

Полная симметрическая система Тоды - это гамильтонова динамическая система на пространстве симметричных вещественных матриц нулевого следа, обобщающая обычную открытую цепочку Тоды. Эта система задаётся лаксовым уравнением $\dot L=[L,M(L)]$, где $M(L)$ - это (наивная) антисимметризация симметричной матрицы $L$: разность её над- и под-диагональных частей (с нулями на диагонали). Гамильтоновость этой системы происходит из отождествления пространства симметричных матриц с пространством, двойственным к алгебре верхне треугольных матриц, причём функция Гамильтона имеет вид $1/2Tr(L^2)$. Эту систему можно дальше обобщать и получать системы на пространствах "обобщённых симметричных матриц" - симметричных компонент разложения Картана полупростых вещественных алгебр Ли. Несколько неожиданным образом все эти системы оказываются вполне интегрируемыми (в смысле наличия достаточно большой коммутативной алгебры первых интегралов) и обладают рядом замечательных свойств, о которых я расскажу: их траектории всегда соединяют между собой неподвижные точки, соответствующие элементам группы Вейля исходной алгебры Ли, при этом две такие точки соединены между собой если и только если элементы группы Вейля сравнимы по Брюа; в случае системы на пространствах обобщённых симметричных матриц, это свойство позволяет описать пересечения вещественных клеток Брюа; у этой системы есть большой набор симметрий (достаточный для того, чтобы она была интегрируемой по Ли-Бианки); её дополнительные первые интегралы можно получать при помощи процедуры "вырезания", причём траектории соответствующих гамильтоновых полей можно получать при помощи метода QR-разложения; если будет время, я опишу альтернативные семейства первых интегралов (коммутативные и некоммутативные); наконец, я опишу способ поднятия дополнительных первых интегралов "вырезания" в универсальную обёртывающую алгебру с сохранением коммутативности.
Доклад основан на серии работ автора совместных с Ю.Черняковым, А.Сориным и Д.Талалаевым.