Выпуклость и минимальность в конечномерных банаховых пространствах

Следующий вопрос является классическим: ‘Минимизируют ли плоские множества меру Хаусдорфа в конечномерных банаховых пространствах?’ Оказывается, что свойство, упомянутое в этом вопросе, тесно связано с различными вариантами выпуклости плотностей по Буземану–Хаусдорфу. Ответ на этот вопрос в общем случае неизвестен; известны только два результата, касающиеся плоскостей коразмерности один (Г. Буземан, 1949) и размерности два (Д. Бураго и С. Иванов, 2012). В первой части доклада мы определим основные объекты и напомним классические результаты, относящиеся к теме (Г. Буземан, Д. Бураго и С. Иванов и другие). Во второй части доклада будет доказана минимальность для случая коразмерности два в комплексных конечномерных банаховых пространствах. Кроме того, мы покажем, что некий вариант выпуклости плотностей Буземана–Хаусдорфа не выполняется в некоторых конечномерных банаховых пространствах. Если позволит время, то мы также обсудим приложения для задачи Плато.