Эйлеровы суммы

Пусть $H_n^{}$ обозначает $n$-е гармоническое число. В докладе будет показано, что сумма числового ряда
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{H_n^{}}{n^k} $$
с натуральным параметром $k\ge 2$ выражается через значения дзета-функции Римана в точках из множества $\{2, 3, ..., k+1\}$. Например, при $k=2$ справедлива формула Эйлера–Рамануджана
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{H_n^{}}{n^2} = 2\zeta(3), $$
а при $k=4$ имеем
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{H_n^{}}{n^4} = 3\zeta(5)-\zeta(2)\zeta(3). $$