Диофантовы торы и собственные функции многомерных (псевдо)диффененциальных операторов с интегрируемым главным символом

В докладе будет представлен подход для нахождения квазиклассических асимптотических собственных функций (псевдо-)дифференциальных операторов с интегрируемым главным символом и нетривиальной поправкой к нему, разрушающим интегрируемость. В таких задачах возникает необходимость решать уравнение переноса на лагранжевом многообразии (торе), которое соответствует главному символу и удовлетворяет условиям квантования, что в многомерном случае приводит к проблеме малых знаменателей. Основная идея состоит в том, что тор, удовлетворяющий условиям квантования, «заменяется» на близкий (лежащий в его O(h)-окрестности) диофантов тор, и уравнение переноса решается на последнем. В некотором смысле подход, представляет упрощенный вариант методов, основанных на КАМ-теории, который позволяет конструктивно описывать поведение асимптотических собственных функций операторов. В качестве примеров будут рассмотрены спектральные задачи для оператора Шредингера (изученные ранее А.Ю.Аникиным и С.Ю.Доброхотова), для оператора Дирака, описывающего графен в магнитном поле и для волнового оператора с вырождением скорости. Доклад основан на совместных работах с А. Ю. Аникиным.