Четырёхмерные гиперэллиптические многообразия, определяемые векторными раскрасками многогранников.

n—мерное многообразие называется гиперэллиптическим, если на нём существует инволюция, пространство орбит которой гомеоморфно сфере. Такая инволюция называется гиперэллиптической. Пользуясь понятиями гамильтоновых цикла, тэта-подграфа и K_4-подграфа на трёхмерном прямоугольном многограннике, А.Д.МедныхВ и А.Ю.Веснин построили примеры трёхмерных гиперэллиптических многообразий в геометриях R^3, S^3, L^3, L^2xR и S^2xR.
Мы обобщаем эту конструкция на n-мерный случай. В этом случае мы вводим понятие гамильтонова C(n,k)-подкомплекса в границе простого n-мерного многогранника c m гипергранями и показываем, что каждый такой подкомплексВ Г отвечает некоторой подгруппе ранга m-k-1 в Z_2^m, свободно действующей на вещественном момент-угол многообразии RZ_P, пространство орбит N(P,Г) которой является многообразием, склеенным из 2^{k+1} копий многогранника. На N(P,Г) действует группа Z_2^{k+1}, и в ней есть гиперэллиптическая инволюция.
Мы классифицируем все четырёхмерные геометрии, которые являются произведениями евклидовых, сферических и гиперболических геометрий и могут быть реализованы на таких гиперэллиптических многообразиях. Оказывается, S^4,В S^3xR,S^2xS^2, S^2xR^2, S^2x L^2 и L^2x L^2 реализуются таким образом, а R^4, L^4, L^3xR и L^2xR^2 не реализуются.
Подробности можно найти в публикации
Erokhovets N. Four-manifolds defined by vector-colorings of simple polytopes, arXiv:2407.20575v1.