О некоторых теоретико-потенциальных задачах, связанных с асимптотикой многочленов Эрмита–Паде

Пусть вещественные компакты $E$ и $F$ не пересекаются и состоят из конечного числа отрезков каждый. Для произвольного вещественного параметра $\theta\in(0,\infty)$ пусть $\lambda_E=\lambda_E(\theta)$ – единственная единичная равновесная мера с номителем на $E$ для смешанного гриново-логарифмического потенциала $\theta V^\mu(z)+G_F^\mu(z)$, т.е.
$$ \theta V^{\lambda_E}(x)+G_F^{\lambda_E}(x) \equiv c_E(\theta)=\operatorname{const}, \quad x\in E, \quad \operatorname{supp}{\lambda_E}=E, $$
где $G_F^\mu(z)$ – гринов (относительно области $\widehat{\mathbb C}\setminus F$) потенциал меры $\mu$. Подожим $\lambda_F=\lambda_F(\theta)=\beta_F(\lambda_E)$ – выметание меры $\lambda_E$ на границу $F$ области $\widehat{\mathbb C}\setminus F$.
Тогда [1] при $1\leq \theta_1<\theta_2\leq 3$ справедливо неравенство
$$ \biggl(1+\frac1{\theta_1}\biggr) G_E^{\lambda_F(\theta_1)} > \biggl(1+\frac1{\theta_2}\biggr) G_E^{\lambda_F(\theta_2)}, \quad z\in\widehat{\mathbb C}\setminus E, $$
где $G_E^\nu(z)$ – гринов (относительно области $\widehat{\mathbb C}\setminus E$) потенциал меры $\nu$.