Когомологии де Рама мягких функциональных алгебр

Для коммутативной k-алгебры A возможно определить ее когомологии де Рама $\mathrm{H}^*_{\text{DR}}(A)$. Теорема сравнения Гротендика говорит о том, что когомологии де Рама алгебры регулярных функций на гладком алгебраическом многообразии X изоморфны сингулярным когомологиям аналитификации X.
При рассмотрении произвольной мягкой функциональной $\mathbb{R}$-алгебры $A$ на пространстве $X$ изоморфизма в общем случае уже нет, но сингулярные когомологии канонически отщепляются от когомологий де Рама алгебры $A$. Отщепление достигается каноническими мультипликативными отображениями
$$\Lambda:\mathrm{H}^*_{\text{sing}}(X,\mathbb{R})\leftrightarrow \mathrm{H}^*_{\text{DR}}(A):\Psi.$$
На докладе мы кратко опишем как построить данные отображения и опишем их свойства. Мы рассмотрим данные отображения для различных функциональных алгебр:
1) непрерывных функций на топологическом пространстве,
2) гладких функций на гладком многообразии,
3) кусочно-полиномиальных функций на полиэдре,
4) полиномиальных функций на симплициальном комплексе.
Мы также обсудим, в каких случаях отображения $\Lambda$ и $\Psi$ являются изоморфизмами.
Доклад основан на статьях https://arxiv.org/abs/2208.11431, https://arxiv.org/abs/2304.04328 и https://arxiv.org/abs/2408.08689.