Факторизация дискретной гармонической меры и дискретная оценка Бёрлинга для случайного блуждания

Для односвязной дискретной области на квадратной решетке мы доказываем следующее свойство факторизации гармонической меры граничной дуги $(bc)$ из точки $a$, также находящейся на границе области: сумма весов траекторий случайного блуждания, начинающихся в $a$ и заканчивающихся на дуге $bc$, с точностью до абсолютной мультипликативной константы представляется через аналогичные двухточечные функции (траектории из $a$ в $b$, из $a$ в $c$ и из $b$ в $c$). Используя это свойство и ряд более простых соображений, мы доказываем дискретный аналог известной экспоненциальной оценки Бёрлинга для вероятности достижения случайным блужданием удалённой части границы области через дискретную экстремальную длину. Рассуждения не требуют перехода к пределу и справедливы для областей произвольной геометрии, в том числе для областей, имеющих много «бутылочных горлышек» произвольной ширины. Доказательство дословно переносится на широкий класс планарных графов (изорадиальные графы), например на треугольную и шестиугольную решетки.