Операторные $E$-нормы и их использование

В работе [1] введено семейство эквивалентных норм (названных операторными $E$-нормами) на алгебре $\mathfrak{B}(\mathscr{H})$ всех ограниченных операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве $\mathscr{H}$, индуцированных положительным плотно определенным оператором $G$ в $\mathscr{H}$. В зависимости от оператора $G$, эти нормы порождают разные топологии, в частности, сильную операторную топологию на ограниченных подмножествах в $\mathfrak{B}(\mathscr{H})$. Показано, что операторные $E$-нормы естественно определяются на множестве всех линейных операторов, ограниченных относительно квадратного корня из $G$, и превращают это множество в банахово пространство.
Доказана обобщенная версия теоремы Кречмана-Шлингемана-Вернера о непрерывности представления Стайнспринга квантовых каналов относительно нормы полной ограниченности с энергетическим ограничением на множестве каналов и операторной $E$-нормы на множестве операторов Стайнспринга [2].
В недавних работах [3], [4] показано, что операторные $E$-нормы являются эффективным инструментом анализа неограниченных операторов и квадратичных форм в гильбертовом пространстве, найдены интересные применения этих норм в теории квантовых динамических полугрупп.

Список литературы

1. М. Е. Широков, “Операторные $E$-нормы и их использование”, Матем. сб., 211:9 (2020), 119–152 (работа выполнена в МЦМУ МИАН)          ; M. E. Shirokov, “Operator $E$-norms and their use”, Sb. Math., 211:9 (2020), 1323–1353      
2. M. E. Shirokov, “Optimal form of the Kretschmann–Schlingemann–Werner theorem for energy-constrained quantum channels and operations”, J. Math. Phys., 63:11 (2022), 112203, 13 pp.      
3. L. van Luijk, Energy-limited quantum dynamics, arXiv: 2405.10259 [quant-ph]
4. S. Becker, N. Galke, R. Salzmann, L. van Luijk, Convergence rates for the Trotter-Kato splitting, arXiv: 2407.04045 [math-ph]