Операторные $E$-нормы и их использование

В работе [1] введено семейство эквивалентных норм (названных операторными $E$-нормами) на алгебре $\mathfrak{B}(\mathscr{H})$ всех ограниченных операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве $\mathscr{H}$, индуцированных положительным плотно определенным оператором $G$ в $\mathscr{H}$. В зависимости от оператора $G$, эти нормы порождают разные топологии, в частности, сильную операторную топологию на ограниченных подмножествах в $\mathfrak{B}(\mathscr{H})$. Показано, что операторные $E$-нормы естественно определяются на множестве всех линейных операторов, ограниченных относительно квадратного корня из $G$, и превращают это множество в банахово пространство.
Доказана обобщенная версия теоремы Кречмана-Шлингемана-Вернера о непрерывности представления Стайнспринга квантовых каналов относительно нормы полной ограниченности с энергетическим ограничением на множестве каналов и операторной $E$-нормы на множестве операторов Стайнспринга [2].
В недавних работах [3], [4] показано, что операторные $E$-нормы являются эффективным инструментом анализа неограниченных операторов и квадратичных форм в гильбертовом пространстве, найдены интересные применения этих норм в теории квантовых динамических полугрупп.