О задаче М. Каца с дополненными данными

Пусть $\Omega$ - ограниченная область на плоскости, $L=-\Delta$ - оператора Лапласа с условием Дирихле на $\partial \Omega$, $\sigma(L)=\{\lambda_1,\lambda_2,...\}$ - его спектр. Как известно, спектр не определяет область однозначно (с точностью до изометрии). Нельзя ли дополнить спектр какими-либо данными, чтобы добиться однозначности?
Пусть $K\subset L_2(\Omega)$ есть подпространство гармонических функций, $F: L_2(\Omega) \to l_2$ - преобразование Фурье, диагонализующее оператор Лапласа: $FLF* = diag{\lambda_1,...}$. Пусть $FK$ есть Фурье-образ гармонического подпространства. Мы показываем, что для широкого класса областей пара $\sigma(L),FK$ определяет $\Omega$ с точностью до изометрии. Результат обобщается на компактные Римановы многообразия с краем. Обсуждается связь задачи с теорией расширений М.Г.Крейна и высказывается ряд гипотез.