Аннотация:
Широко известно понятие марковской цепи в случайной среде. Мы рассматриваем более узкий класс
последовательностей, которые называем марковскими рекуррентными последовательностями в случайной среде.
Предполагается, что МРПСС является марковской последовательностью в случайной среде,
кроме того МРПСС $Y(n)$ удовлетворяет неоднородному линейному рекуррентному соотношению первого порядка со случайными коэффициентами: $Y(n) = A(n) Y(n-1)+B(n)$.
При этом коэффициенты первого порядка $A(n)$ образуют измеримую относительно среды последовательность независимых одинаково распределенных величин, а свободные члены $B(n)$, вообще говоря,
зависимы и по разному распределены, но а) не зависят от будущей среды б) удовлетворяют условным моментным ограничениям на условное математическое ожидание некоторой функции $h(B(n))$ при
условии $Y(n-1)$ и cреды.При этом мы будем считать, что ноль – особенное состояние, оно может быть
поглощающим, а остальные состояния сообщаются. Примером такой последовательности является ветвящийся процесс в случайной среде (ВПСС), ветвящийся процесс с иммиграцией в случайной среде
(ВПИСС), двуполые ветвящиеся процессы в случайной среде (ДВПСС) и тот же процесс с иммиграцией (ДВПИСС), максимальные ветвящиеся процессы (МВП) и максимальные ветвящиеся процессы в
случайной среде (МВПСС) в некоторых частных случаях.
Оказывается, что широкий спектр результатов известных (и даже неизвестных ранее) для ВПСС
можно обобщить для МРПСС. Для этого вводится сопровождающее МРПСС блуждание $S(n)$.
Удается получить:
сходимость $Y(n) \operatorname{exp}(-S(n))$ к невырожденной случайной величине в среднем и п.н.
аналоги центральной предельной теоремы для $\log Y(n)$ как для сходимости к нормальному распределению, так и для сходимости к устойчивым законам;
функциональную предельную теорему (аналог теоремы Донскера) для траектории процесса, соответствующего последовательности из прошлого пункта, а также аналогичные соотношения для сходимости к процессу Леви;
асимптотику вероятности непосещения нуля в критическом случае (то есть когда среднее шагов
блуждания равно нулю);
теоремы о верхних больших уклонениях;
теоремы о нижних больших уклонениях (с учетом невырождения);
функциональные предельные теоремы для траектории процесса в последних двух случаях.
При этом ограничения, накладываемые в случае МРПСС, близки к тем, которые известны в решенных
ранее задачах для ВПСС. Однако, для ВПИСС, ДВПСС, ДВПИСС, МВП, МВПСС, такие результаты
ранее не были известны.
Обратная связь: