Аннотация:
В этой серии из двух докладов (16 и 23 сентября) я расскажу о полиноме Александера и о геометрическом смысле его "простейшей части". Для понимания доклада достаточно базовых знаний по топологии (классификация поверхностей, гомологии, коэффициент зацепления и т.п.). Все необходимые определения будут приведены.
Для тех, кто уже знает кое-что о полиноме Александера или ходил на семинар в прошлом году, приведу некоторые подробности (остальные могут их смело игнорировать).
1) "Простейшая часть полинома Александера" — это обобщённые инварианты Кохрана, определяемые в терминах полинома Конвея (т.е. некоторым образом переписанного знакоопределённого полинома Александера) и включающие обобщённый инвариант Сато–Левина. Если коэффициент зацепления равен нулю, то все эти инварианты имеют, как известно, простое и красивое геометрическое описание (оно обсуждалось на семинаре в январе, см. https://www.mathnet.ru/php/seminars.phtml?presentid=41497). Основная формула, которую планируется доказать за два семинара, даёт их геометрическое описание в случае, когда коэффициент зацепления равен 1. Оно совсем другое, но с ним тоже можно работать.
2) Упомянутая основная формула будет использована в дальнейших докладах (вероятно, в октябре) для доказательства анонсированного в марте результата в направлении проблемы Ролфсена "всякий ли узел изотопен тривиальному?" (см. теорему 3 здесь: https://www.mathnet.ru/php/seminars.phtml?presentid=42200).
3) Предварительная версия основной формулы, которая могла бы сыграть роль леммы в её доказательстве, обсуждалась на семинаре в прошлом сентябре (см. https://www.mathnet.ru/php/seminars.phtml?presentid=40023), но ссылаться на это обсуждение не представляется возможным, поскольку видео не записалось (по техническим причинам); кроме того, в марте мои попытки сослаться на это обсуждение вызвали возражения (возможно, потому, что само это обсуждение вышло не очень внятным). Так что начнём сначала.
4) Если раньше "полином Конвея" от $n$ переменных определялся с помощью некоторых слегка загадочных трюков, то с недавних пор ему на смену пришёл чуть-чуть другой "полином Конвея", определяемый более прозаично — на основе разложения заданного полинома Лорана на симметричную и кососимметричную части. За вычетом этого упрощения полинома Конвея, которое не влияет по существу на применения к проблеме Ролфсена, все доказательства можно найти в препринтах arXiv:2406.09365v1, arXiv:2406.09331v1 и arXiv:math/0312007v3.
Подключение к Zoom: https://zoom.us/j/92456590953 Код доступа: эйлерова характеристика букета двух окружностей
(паролем является не приведённая фраза, а задаваемое ей число)
*Семинар 23 сентября отменён в связи с болезнью докладчика. Продолжение доклада ожидается в октябре.
Обратная связь: