Аннотация:
Имеется 3 различные 2-мерные геометрии: на сфере (кривизна $К > 0$), на
плоскости ($К=0$) и на плоскости Лобачевского ($К < 0$). К каждой из них можно подходить многими способами:
1. «Элементарный» подход, как в школе:
постулируется понятие прямой,
далее изучаются треугольники, углы и
т.д.
2. Дифференциально-геометрический
подход: определяется метрика,
которая и задает данную геометрию.
Метрика позволят измерять длины и
площади. При этом, например, «прямые»
определяются, как геодезические линии.
3. Исходя из данных 1) или 2) можно
рассмотреть группу отображений нашего
2-мерного пространства в себя, которая
сохраняет эти данные — группу движений
данной геометрии. А можно и наоборот:
сначала задать группу движений, а потом
изучать объекты, которые этой группой
сохраняются, и назвать результат
геометрией.
Мы опишем группы движений для каждой из
геометрий. Затем займемся изучением их
дискретных подгрупп. Для каждой из 3-х
геометрий изучение дискретных
подгрупп выводит нас на другие
геометрические структуры:
в случае $К > 0$ — это правильные
многогранники; при $К=0$ мы получаем
орнаменты; случай $К < 0$ самый богатый — из
него получаются все римановы
поверхности (алгебраические кривые)
рода $> 1$.
Для понимания курса требуется знакомство с понятием группы, а также с началами линейной алгебры.
Обратная связь: