Аддитивные инварианты в геометрии и динамике. Семинар 1

К аддитивным геометрическим инвариантам относятся площадь, объем, периметр (если правильно понимать аддитивность), эйлерова характеристика (она инвариантна в очень сильном смысле!), угловой дефект (играет роль в неевклидовой геометрии и оказывается мистическим образом связанным с эйлеровой характеристикой), и многие другие. В классической геометрии аддитивные инварианты используются для решения задач равносоставленности. Например, разрезав многоугольник на конечное число многоугольных кусков, можно из них сложить любой другой многоугольник той же площади (теорема Уоллеса–Бойяи–Гервина). При этом допускаются параллельные переносы и вращения кусков. Если же разрешить только параллельные переносы, а вращения запретить, то, кроме площади, есть еще бесконечное число инвариантов, сохраняющихся при замене фигуры на другую ей $T$-равносоставленную, т.е. равносоставленную с использованием только параллельных переносов, — эти инварианты ввели Хадвигер и Глур в 1951. Состояние дел с $T$-равносоставленностью на плоскости чем-то напоминает то, как выглядит равносоставленность в 3-мерном пространстве. За последнюю, кроме объема, отвечает т.н. инвариант Дена (тоже аддитивная величина!) — это знаменитое решение третьей проблемы Гильберта. Поскольку инвариант Дена принимает значения в бесконечномерном пространстве, он по сути содержит бесконечное число вещественных аддитивных инвариантов.

Аддитивные инварианты оказываются полезными в динамике — в задачах про перекладывания отрезков, многоугольников, многогранников. Например, можно разрезать отрезок на конечное число подотрезков, и сложить из этих кусков новый отрезок. Единственным ограничением служит то, что длины старого и нового отрезков должны совпадать. В этом смысле нединамическая задача тривиальна. Однако, если перекладывание отрезков рассматривать как динамическую систему, т.е. многократно итерировать эту операцию, то возникает много интересных вопросов. Например, вопрос о том, вернем ли мы когда-нибудь все точки на место, т.е. является ли перекладывание отрезков периодическим? Ответ на этот вопрос доставляет динамический инвариант Саха–Арну–Фати, удивительно похожий — внешне, по крайней мере — на инвариант Дена.

Совсем недавно выяснилось, что динамические аналоги инвариантов Хадвигера–Глура — одновременно являющиеся многомерными обобщениями инварианта Саха–Арну–Фати — помогают изучать динамические свойства внешних бильярдов.