Диссипация энергии в гамильтоновых цепочках с вырожденным трением

Мы рассматриваем гамильтонову цепочку, состоящую из $N \ge 2$ нелинейных ротаторов, в которой первый ротатор подвержен действию вязкого трения. Нас интересует скорость диссипации полной энергии системы в случае, когда энергия системы велика.
Эта задача мотивирована неравновесной статистической механикой твердых тел, где гамильтонова цепочка взаимодействующих частиц, первая и последняя из которых подвержены действию вязкого трения и случайного возмущения, является классической моделью. Умение контролировать диссипацию полной энергии при ее высоких значениях, обеспечиваемую трением, имеет ключевое значение для исследования поведения системы на больших временах.
Мы показываем, что энергия системы $H$ убывает со скоростью, не меньшей, чем $H^{-2N-3}$, если $H$ достаточно велико. Эта оценка совпадает с полученной ранее в работе [1], где авторы также приводят численные доказательства ее оптимальности, так что по-видимому затухание действительно происходит чрезвычайно медленно, тем медленнее, чем больше энергия системы.
Наше доказательство гораздо короче и проще, предложенного в [1], и требует существенно меньших ограничений. В то время как работа [1] основана на процедуре типа КАМ, мы используем совершенно другой подход, восходящий к [2], позволяющий при слабых ограничениях из нестрогой функции Ляпунова (гамильтониана) построить строгую.
Это совместная работа со Львом Локуциевским и Андреем Сарычевым.

Список литературы

1. N. Cuneo, J.-P. Eckmann, C.E. Wayne, “Energy dissipation in Hamiltonian chains of rotators”, Nonlinearity, 30 (2017), R81      
2. M. Malisoff, F. Mazenec, Construction of strict Lyapunov functions, Springer-Verlag, 2009