Анализ ландшафтов квантового управления для трехуровневых систем типа лямбда-атома с использованием метода GRAPE

Доклад посвящен построению марковских полугрупп однородных случайных процессов на гильбертовом пространстве с помощью аппроксимаций итерациями Чернова марковских операторов дискретных во времени случайных блужданий на гильбертовом пространстве. Показательным примером служит процесс измерения наблюдаемой (например, координаты), заданной некоторым самосопряженным оператором $L=L^*$, и его аппроксимация последовательностью слабых измерений, производимых через равные промежутки времени с помощью инструмента
\begin{equation*} \rho\mapsto\mathbf{M}_{t}[B](\rho)=\int\limits_B \sqrt{p_t(yI-L)}\rho\sqrt{p_t(yI-L)}\ dy,\quad B\in B(\mathbb{R}),\ \rho\in\mathfrak{S}(\mathcal{H}), \end{equation*}
где $t>0$ означает промежуток между измерениями, $p_t(y)dy$ – вероятностное распределение (см. [1], гл. 4, пример 2).
Мы рассматриваем более общие процессы «линейного» случайного блуждания на сепарабельном гильбертовом пространстве. Используется подход классической теории марковских процессов, в котором марковский оператор имеет вид
\begin{equation*} (\mathbf{F}[G_t]f)(v)=\int d\mathbb{P}(\omega)\ f(G_t(\omega)v),\quad v\in\mathcal{H},\ f\in B_B(\mathcal{H}),\ G_t:\Omega\to\mathcal{B}(\mathcal{H}) \end{equation*}

Исследуется возможность приближения марковской полугруппы $\{\mathbf{T}_t\}$ на пространстве ограниченных борелевских функций $B_B(\mathcal{H})$ итерациями вида $\lim\limits_{N\to\infty}\mathbf{F}[G_{t/N}]^N $, которые, как оказывается, на достаточно широком подпространстве $F_G\subset B_B(\mathcal{H})$ в топологии равномерной сходимости на ограниченных множествах приближают bi-непрерывную полугруппу (теория bi-непрерывных полугрупп и их аппроксимаций развита в работах [2-3]), расширяющуюся единственным образом до $\{\mathbf{T}_t\}$.
Автор благодарен за полезные обсуждения Г.Г. Амосову, В.Ж. Сакбаеву, Я.А. Киндеркнехт, Б.О. Волкову.
[1] A.S. Holevo. Statistical Structure of Quantum Theory // Quantum Information and Computation 3(2) (2003).
[2] F. K\""{u}hnemund. Bi–Continuous Semigroups on Spaces with Two Topologies: Theory and Applications // Ph.D. thesis, T\""{u}bingen (2001).
[3] A.A. Albanese, E. Mangino. Trotter-Kato theorems for bi-continuous semigroups and applications to Feller semigroups // J. Math. Anal. Appl. 289, 477–492, (2004).