Введение в геометрию локально симметричных пространств ранга 1

Вместо обычных методов Дифференциальной Геометрии, будет использоваться подход Феликса Клейна, определяющий свойства пространства $X$ с заданной группой $G$ его автоморфизмов, т.е. $(Х, G)$- структуры. Мы проиллюстрируем этот подход простыми примерами Эвклидовых, аффинных и вещественно гиперболических многообразий, чьи фундаментальные группы действуют дискретно на их универсальных накрытиях. Основное внимание будет на геометриях симметричных пространств ранга $1$ с Эрмитовой структурой – комплексно гиперболических, кватернионно гиперболических пространствах и гиперболической плоскости Кэли, т.е. геометриях, определяемых над числовыми алгебрами с делением, отличными от вещественных чисел. Секционная кривизна этих структур отрицательна, но уже не постоянна (в интервале $[-1, -1/4]$), а роль свободных Абелевых подгрупп в группе G их изометрий играют нильпотентные группы Карно, подобные группе Гейзенберга. Бесконечно удаленные точки этих геометрий образуют сферу ко-размерности $1$, где Эрмитова структура определяет сферическую структуру Коши-Римана и контактную структуру на соответствующей группе Карно, чьё $1$-точечное пополнение дает сферу на бесконечности. Эти сферические структуры Коши-Римана и контактные структуры представляют свой собственный интерес. Особый интерес представляет вопрос деформаций многообразий с указанными структурами, их жесткостью или пространством модулей (пространством Тейхмюллера).