Оценки, связанные с записью чисел в виде графов

С каждым числом $n$ можно связать определённый граф $t(n)$ в виде дерева, который строится путём последовательного разложения числа на простые множители, а далее — показателей, с которыми эти простые входят в $n$ до тех пор, пока на очередном шаге все показатели не станут равны $1$.
Для целых $n, k\geqslant 1$ определим «шаблон» деревьев, соответствующих числам $n, n+1, \ldots, n+k$:
$$\vec{t}_k(n) = (t(n), t(n+1),\ldots, t(n+k)).$$

В 2023 году R. Conti и P. Contucci (R. Conti, P. Contucci, "A ${\mathbb N}$atural Avenue", arXiv:2204.08982) обнаружили следующее интересное явление. Каждое натуральное число в каком-то смысле определяется «древесной» структурой своих соседей. Именно, было доказано, что для каждого $n\geqslant 1$ существует величина
$$\kappa_+(n) = \min\left\{k\geqslant 1:\forall m\geqslant 1\ \text{если}\ \vec{t}_k(n) = \vec{t}_k(m),\, \text{то}\, n = m\right\}< +\infty.$$

Авторы не приводят никаких оценок для $\kappa_+(n)$, однако, из их доказательства и варианта теоремы Линника о наименьшем простом числе в арифметической прогрессии следует оценка
$$\kappa_+(n)\leqslant n^{O(1)}.$$

На предстоящем докладе, посвящённом совместной работе с R. Conti и P. Contucci, мы докажем более точную оценку:
$$\kappa_+(n)\ll n.$$
Также мы покажем, пользуясь простейшими методами решета, что функция $\kappa_+(n)$ неограниченная:
$$\limsup_{n\to+\infty}\kappa_+(n) = +\infty.$$
Наконец, мы покажем, что из условий $m<n$ и $\vec{t}_k(m) = \vec{t}_k(n)$ следует оценка
$$k\leqslant n^{\frac{3}{4}}(\ln n)^{O(1)}.$$

Идентификатор конференции: 918 2692 4661 Код доступа-шестизначное число, равное произведению трех простых чисел: первое из которых равно 7, второе является большим (из двух) в первой паре близнецов, следующей за числом 200, а третье простое-ближайшее к числу 550.