Модель перехода Джозефсона, динамические системы на торе, детерминантные поверхности и уравнения Пенлеве-3

Эффект туннелирования, предсказанный Б. Джозефсоном (Нобелевская премия 1973 г.), относится к Джозефсоновскому контакту: системе из двух сверхпроводников, разделённых достаточно узкой прослойкой из диэлектрика. Он состоит в существовании проходящего через него сверхтока, описываемого уравнениями, открытыми Джозефсоном. Сильно шунтированный Джозефсоновский контакт моделируется семейством динамических систем на двумерном торе, описываемым дифференциальным уравнением, зависящим от трёх параметров. Мы фиксируем один параметр (частоту) и исследуем число вращения динамической системы как функцию от двух остальных параметров. Зоны фазового захвата – это те её множества уровня, которые имеют непустую внутренность. Они существуют только для целых чисел вращения. Это – эффект квантования, открытый В. М .Бухштабером, О.В.Карповым, С.И.Тертычным с помощью эквивалентного описания модели семейством систем линейных уравнений на сфере Римана. Бухштабер и Тертычный показали, что эти линейные системы эквивалентны специальным дважды конфлюэнтным уравнениям Гойна и исследовали множества тех параметров, при которых уравнения Гойна имеют полиномиальные решения. Они показали, что эти множества параметров — детерминантные кривые, заданные условием обращения в нуль трёхдиагональной матрицы, элементы которой являются параметрами уравнения Гойна с точностью до постоянных множителей и аддитивных констант. Детерминантные кривые отвечают специальным точкам границ зон фазового захвата, изучение которых представляет интерес, и их исследование будет иметь применения к топологии зон захвата.
Мы представим новое 4-параметрическое семейство динамических систем на торе, включающее вышеупомянутую модель Джозефсоновского контакта, где тоже есть эффект квантования числа вращения, эквивалентное описание семейством линейных уравнений, а также расслоение пространства параметров на изомонодромные семейства, связанное с уравнением Пенлеве 3. Мы исследуем аффинные детерминантные поверхности в расширенном пространстве параметров, являющиеся обобщениями и двумерными продолжениями детерминантных кривых. Мы докажем их гладкость (вне некоторой координатной гиперплоскости) и рациональность. В качестве применения будет доказана гипотеза И. В. Нетая о роде комплексных детерминантных кривых. Это — совместный результат с Нетаем, который её численно обнаружил и свёл к вопросу о гладкости “проколотой” аффинной детерминантной кривой: мы докажем её гладкость. Мы дадим краткий обзор результатов и обсудим открытые задачи.