Полиэдральные произведения, граф-произведения и $p$-центральные ряды

Мы описываем ограниченную алгебру Ли, ассоциированную с нижним $p$-центральным рядом граф-произведения групп $\mathbb{Z}_p$. В качестве приложения мы получаем изоморфизм между универсальной обертывающей алгебры Ли, ассоциированной с нижним $2$-центральным рядом для прямоугольной группы Коксетера и гомологиями петель пространства Дэвиса–Янушкевича.
Полиэдральное произведение $(X,A)^\mathcal{K}$ определено для последовательности пар топологических пространств $(X,A)=((X_1,A_1),\ldots,( X_m,A_m))$ и симплициального комплекса $\mathcal{K}$ на множестве $[m]=\{1,\ldots,m\}$.
$$ (X, A)^{sK}= \bigcup_{I\in\mathcal K} \Bigl (\prod_{i\in I}X_i\times\prod_{i\notin I}A_i\Bigl)\subset\prod_{i=1}^m X_i. $$
В случае, когда каждое $A_i$ является точкой, полиэдральное произведение $X^\mathcal{K}=(X, pt)^\mathcal{K}$ содержит $m$-кратный букет $X_1\vee\cdots\vee X_m $ и содержится в $m$-кратном произведении $X_1\times\cdots\times X_m$. Полиэдральные произведения возникли в торической топологии [bu-pa15] и в последнее время активно изучаются в теории гомотопий [b-b-c20]. Важными примерами являются пространство Дэвиса–Янушкевича $(\mathbb{C} P^\infty)^\mathcal{K}$, момент-угол-комплекс $\mathcal{Z}_\mathcal{K}=(D^2,S^1)^\mathcal{K}$ и его вещественный аналог $\mathcal{R}_\mathcal{K}=(D^1,S^0)^\mathcal{K}$. Существует также теоретико-групповой аналог полиэдральных произведений называемый граф-произведением.
$$ G^{\mathcal{K}}={{\Huge \star}}_{k=1}^m G_k\big/(g_ig_j=g_jg_i\,\text{ при }g_i\in G_i,\,g_j\in G_j,\,\{i,j\}\in\mathcal{K}). $$

Данный доклад фокусируется на изучении связи между фундаментальной группой вещественного момент-угол комплекса $\mathcal{R}_\mathcal{K}$ и гомологиями петель для пространства Дэвиса-Янушкевича. Основной конструкцией в проведенной параллели является конструкция кольца Ли ассоциированного с центральной фильтрацией на группе. Вычисления проведенные в конструкции удается обобщить в на граф-произведение групп вида $\mathbb{Z}_p^{\mathcal{K}}$.
Для любой группы $G$ можно рассмотреть различные центральные ряды, то есть последовательности подгрупп $\mathcal{G}=\{G_k\}_{k\geq1}$ для которых верно, что: $G_1=G$, $G_{k+1}\subset G_k$, и $\left(G_k,G_l\right)\subset G_{k+l}$. Для каждого такого ряда можно рассмотреть ассоциированное кольцо Ли, получаемое как прямая сумма последовательных факторов ряда: $\bigoplus G_i/G_{i+1}$. Скобка в таком кольце соответствует коммутатору в группе. Классическая конструкция, изучаемая в таком контексте, — это кольцо Ли, ассоциированное с нижним центральным рядом: $\gamma_k=\left(\gamma_{k-1},G\right)$, называемое также присоединенным кольцом Ли.
Фундаментальная группа вещественного момент-угол комплекса $\mathcal{R}_\mathcal{K}$ изоморфна коммутанту прямоугольной группы Кокстера — группы с $m$ образующими $v_1,\ ...,\ v_m$, соотношениями коммутирования $v_iv_j=v_jv_i$ для вершин, соединенных в графе, $i,j\in\mathcal{K}$, и соотношениями вида $v_i^2=id$ для всех $i\in\left[m\right]$. Присоединенное кольцо Ли прямоугольной группы Кокстера является алгеброй Ли над $Z_2$. Проблема описания получаемой алгебры была частично изучена в работах [vere19, vere22, ve-ra24, pa-ra24]. Было показано, что задача описания аддитивного базиса и отношений, даже в оценках ниже 4, является сложной. В этой работе мы представляем подход к изучению 2-ограниченных ассоциированных алгебр Ли как более естественных объектов над полем характеристики 2. Для этого объекта известен изоморфизм с групповым кольцом [quil68], который значительно помогает в явном описании копредставления. В итоге удается доказать изоморфизм 2-ограниченной присоединенной алгебры Ли групп Кокстера с так называемой $2$-граф алгеброй Ли:
$$L_\mathcal{K}^{\left[2\right]}=FL_{Z_2}^{\left[2\right]}\left( u_1,\ldots,u_m \right)/\bigl(u_i^{[2]}=0,\; [u_i,u_j]=0\text{ для }\{i,j\}\in\mathcal{K}\bigr)$$

Заметим, что группу Кокстера можно рассматривать как граф-произведение $\mathbb{Z}_2^{\mathcal{K}}$. Полученный результат удаётся обобщить, на случай граф-произведения групп $\mathbb{Z}_p^\mathcal{K}$. Введем для формулировки более общего утверждения дополнительные обозначения. Назовем тривиальной p-алгеброй Ли фактор свободной p-алгебры Ли по единственному соотношению обращения в нуль p-степени на порождяющих $\mathbb{Z}_p\langle u\rangle = FL_p(u)/(u^{[p]}=0).$ Тогда $p$-граф алгебру Ли можно ввести как граф-произведение тривиальных $p$-алгебр Ли:
$$ L_\mathcal{K}^{[p]}= FL_p(u_1,\ldots,u_m)\big/\bigl(u_i^{[p]}=0,\; [u_i,u_j]=0\text{ для }\{i,j\}\in\mathcal{K}\bigr)=\bigl(\mathbb{Z}_p\langle u\rangle\bigr)^\mathcal{K}. $$
Тогда в общем случае, полученный результат эквивалентен, тому, что функтор из категории групп в категорию p-ограниченных алгебр Ли $gr_\bullet\gamma^{[p]}\colon \operatorname{GRP} \to \operatorname{LIE}_p$ сохраняет граф-произведения элементарных абелевых $p$-групп.
В качестве следствия изоморфизма, для флаговых комплексов $\mathcal{K}$, существует связь между фундаментальной группой полиэдральной степени вещественного бесконечномерного проективного пространства и алгеброй Понтрягина полиэдральной степени комплексного бесконечномерного проективного пространства:

$$\overline{U}\left({gr}^{\left[2\right]}\pi_1\left(\left(\mathbb{R}P^\infty\right)^\mathcal{K}\right)\right)=H_\ast\left(\Omega\left(\mathbb{C}P^\infty\right)^\mathcal{K};\mathbb{Z}_2\right).$$

Доклад проходит через зум. Идентификатор: 868 7431 4443 Код: 991937

Список литературы

1. Bahri, Anthony; Bendersky, Martin; Cohen, Frederick. Polyhedral products and features of their homotopy theory. In: Handbook of Homotopy Theory. CRC Press/Chapman Hall Handb. Math. Ser., CRC Press, Boca Raton, FL, 2020, pp. 103–144.
2. Buchstaber, Victor; Panov, Taras. Toric Topology. Math. Surveys Monogr., 204, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2015.
3. Верёвкин Я.  А.; Присоединенная алгебра Ли прямоугольной группы Кокстера. Труды МИАН (2019), 305, 61-70. DOI: 10.4213/tm3992
4. Верёвкин Я. А. Градуированные компоненты присоединенной алгебры Ли прямоугольной группы Кокстера. Труды МИАН 318 (2022), 31–42.
5. Верёвкин Я. А.; Рахматуллаев, Т. А. О последовательных факторах нижнего центрального ряда прямоугольной группы Коксетера. Матем. заметки (2024), принято к печати.
6. Панов Т. Е.; Рахматуллаев, Т. А. Полиэдральные произведения, граф-произведения и p-центральные ряды Мат. сборник (2024), принято к печати
7. Quillen, Daniel. On the associated graded ring of a group ring. J. Algebra 10 (1968), 411–418.