Формулы аналитического продолжения функции Лауричеллы и вычисление конформного отображения многоугольников

В докладе рассматривается функция Лауричеллы $F_D^{(N)}$, являющаяся гипергеометрической функцией $N$ комплексных переменных $z_1,\dots,z_N$. и зависит от комплексных параметров $a_1,\dots,a_N$, $b$, $c$. Эта функция удовлетворяет системе $N$ линейных уравнений с частными производными по переменным $z_1,\dots,z_N$, а в единичном поликруге $\mathbb{U}^N = \{|z_j| < 1, j = 1,\dots,N\}$ записывается в виде $N$–кратного ряда Тейлора. При произвольном числе $N$ переменных указан полный набор формул аналитического продолжения функции Лауричеллы за границу поликруга $\mathbb{U}^N$. Такие формулы представляют эту функцию в подходящих подобластях $N$-мерного комплексного пространства в виде линейных комбинаций других обобщенных гипергеометрических рядов, являющихся решениями той же системы уравнений с частными производными, которой удовлетворяет $F_D^{(N)}$. Построенные формулы дают эффективный алгоритм для вычисления функции Лауричеллы во всем пространстве $\mathbb{C}^N$. В докладе продемонстрировано приложение полученных формул для функции $F_D^{(N)}$ к решению проблемы вычисления параметров интеграла Кристоффеля — Шварца в ситуации "кроудинга". Представлены результаты построения конформного отображения прямолинейных многоугольников сложного вида.