Стохастические модели простых чисел

Идея того, что простые числа в некотором смысле случайно распределены в натуральном ряду, в отчетливой форме выдвигалась уже Лежандром и Гауссом, но только Крамер (1936) опубликовал работу, в которой простые числа трактовались как элемент специального пространства случайных последовательностей. А именно, каждое целое число n > 2 объявляется "простым" (квазипростым) с вероятностью 1/ln(n) независимо от прочих n' ≠ n. Если в этом ансамбле (с бернуллиевской мерой) положить N(x,ω) = #{выбранных n : n ≤ x}, то в одном из наиболее известных результатов Крамера утверждается, что при x → ∞ почти наверное по мере P справедливо представление N(x,ω) = Li(x) + O(√x), где Li(x) есть сдвинутый интегральный логарифм от 3 до x. Хорошо известно, что такая же оценка N(x) = Li(x)+O(√x) для настоящих простых чисел эквивалентна знаменитой гипотезе Римана о нулях ζ-функции. В докладе будет рассказано о модели Крамера, ее обобщениях, свойствах ζ-функций, ассоциированными с этими моделями и о результатах нескольких численных экспериментов с простыми числами на суперкомпьютере.
Группа работающих над этим проектом включает молодых математиков В. Маргаринта (Университет Северной Каролины), Я. Малиновского (Университет Мэриленда, США) и C.А. Молчанова.