Аннотация:
Доклад посвящен обобщению теоремы Дж. Александера (см. [1]), известной своим емким доказательством, носящим название “Трюк Александера”. Теорема утверждает, что любой гомеоморфизм замкнутого шара произвольной размерности, тождественный на его крае, связан с тождественным отображением изотопией, неподвижной на крае. Это утверждение является одним из базовых в топологии и в частных случаях было доказано Г. Титце, О. Вебленом и Г. Л. Смитом в 1914–1917 годах. Работа Титце посвящена только случаю двумерного диска, однако занимает почти 60 страниц, что контрастирует с идеей Александера, позволяющей на одной странице разместить доказательство для шара произвольной размерности.
Теорема Александера имеет аналог в кусочно-линейной категории, а в малых размерностях — и в гладкой категории. На теорему опираются, например, в доказательстве результатов о гомеоморфизмах сфер (см. [4]), диффеоморфизмах поверхностей (см. [3], [5]) и о связной сумме многообразий. В 1981 году Д. Б. А. Эпштейн доказал (см. [2]) следующее обобщение теоремы Александера для размерности 2:
Пусть $K$ — непустое компактное подмножество связного компактного двумерного многообразия $M$ такое, что каждая компонента множества $M\setminus K$ является открытым диском. Если автогомеоморфизм $h$ многообразия $M$ тождествен на $K$ и сохраняет ориентацию на $M$, то $h$ связан с тождественным отображением изотопией, неподвижной на $K$.
В докладе будет представлен пример, демонстрирующий, что для трехмерных многообразий аналог теоремы Эпштейна не верен, а затем доказано обобщение (с дополнительным условием) теорем Александера и Эпштейна для многообразий произвольной размерности.
[1] Alexander J. W. On the deformation of an $n$-cell //Proceedings of the National Academy
of Sciences of the United States of America. – 1923. – 406-407.
[2] Epstein D. B. A. Pointwise periodic homeomorphisms //Proceedings of the London
Mathematical Society. – 1981. – Т. 3. – No. 3. – 415-460
[3] Hendriks M. Surface automorphisms and the Nielsen realization problem. – 2007.
[4] Livingston C. Connected sums of codimension two locally flat submanifolds //Proceedings
of the Royal Society of Edinburgh Section A: Mathematics. – 2023. – 1-8.
[5] Martelli B. An introduction to geometric topology //arXiv preprint arXiv:1610.02592. –
2016.
Подключение к Zoom: https://zoom.us/j/92456590953 Код доступа: эйлерова характеристика букета двух окружностей
(паролем является не приведённая фраза, а задаваемое ей число)
Обратная связь: