О полюсах решений иерархии КдФ

Известно, что любое локальное голоморфное (по $x$ и $t$) решение $u(x,t)$ уравнения Кортевега–де Фриза $u_t=au_{xxx}+buu_x$ можно представить в виде $u=12ab^{-1}(\log\tau)_{xx}$, где $\tau(x,t)$ — целая функция от $x$. Мы покажем, что при каждом фиксированном $t=t_0$ порядок любого нуля $x=x_0$ функции $\tau(x,t_0)$ равен $k(k+1)/2$ для некоторого $k=k(x_0,t_0)\in\mathbb{N}$. Это число $k$ назовём весом полюса $(x_0,t_0)$ функции $u(x,t)$. Тогда при эволюции согласно КдФ любой полюс веса выше 1 моментально распадается на полюсы веса 1, т.е. найдутся окрестности $U,V$ точек $x_0,t_0$ такие, что все полюсы функции $u(x,t)$ на $U\times(V\setminus\{t_0\})$ имеют вес 1. Теми же свойствами обладают все локальные голоморфные решения всех уравнений, составляющих иерархию КдФ, но есть различие: при эволюции согласно $n$-му потоку полюсы веса $>n$ моментально распадаются на полюсы веса $\leqslant n$. С другой стороны, для любой голоморфной функции $f$ и любых натуральных чисел $k\leqslant n$ существует (не единственное) голоморфное решение $n$-го потока иерархии КдФ в проколотой окрестности графика $\{x=f(t)\}$, имеющее полюс веса $k$ в каждой точке этого графика. В докладе планируется рассказать об этих новых результатах и о долгой истории изучения дивизора полюсов для более узких классов голоморфных решений.