24 грани функции Борчердса $\text{Ф}_{12}$

Два важнейших класса алгебр Каца-Муди — это аффинные алгебры Ли и алгебры с гиперболическими системами корней (бесконечномерные алгебры полиномиального и экспоненциального роста соответственно). Если теория аффинных алгебр хорошо известна, то гиперболический тип остается до сегодняшнего дня достаточно загадочным классом. Какие соотношения имеются между производящими функциями, порождающими алгебры двух разных типов? Подобные вопросы ставились многими математиками и физиками, например, И. Френкелем в его статье 1983 г. о простейшей гиперболической алгебре Каца–Муди и модулярных формах Зигеля.
В этом докладе дается ответ на примере “Fake Monster” Ли алгебры. Эта алгебра, определенная автоморфной формой $\text{Ф}_{12}$ от 26 переменных, является самым известным примером Лоренцовых (автоморфных гиперболических) алгебр Каца–Муди, открытых Р. Борчердсом в 1995 г. Подобные алгебры используются в некоторых моделях квантовой гравитации.
В докладе будут даны новые формулы для функции Борчердса $\text{Ф}_{12}$ и показано, что “Fake Monster” Ли алгебра индуцирует в одномерных каспах 23 аффинные алгебры Ли, отвечающие системам корней унимодулярных решеток Нимайера (например, системам $D_{24}$, $3Е_8$, $24A_1$, $12A_2$ и т.д.). Будут даны и другие примеры Лоренцовых алгебр Каца-Муди гиперболического ранга 4, 6 и 8, расширяющие аффинные алгебры.