Аннотация:
На основе тэта-функциональных решений $g$-стационарной иерархии Кортевега—де Фриза, Дубровин и Новиков (1974) показали, что пространство универсального расслоения якобианов гиперэллиптических кривых рода $g$ бирационально эквивалентно $\mathbb{C}^{3g+1}$.
Используя теорию не особых гиперэллиптических кривых и тэта-функциональную теорию их якобианов, Мамфорд (D. Mumford, 1979) ввел динамическую систему на $\mathbb{C}^{3g+1}$ и получил алгебро-геометрическое описание гиперэллиптических якобианов в фазовом пространстве этой системы.
Система Мамфорда тесно связана с динамической системой Неймана (C. Neuman, 1859) и результатами Мозера (J. Moser, 1978) о геодезических на эллипсоиде.
В рамках алгебро-геометрической теории интегрируемых систем, Ванхаекке (P. Vanhaecke, см. монографию 2001 г.) развил теорию динамической
системы Мамфорда.
В работе [1] построена теория гиперэллиптических функций Клейна и на $\mathbb{C}^{3g+1}$ введена полиномиальная динамическая система БЭЛ вида
$$D_\eta L_{\xi} = [ L_{\xi}, M_{\xi,\eta}],$$
где $\xi,\eta$— свободные параметры, $L_{\xi}, M_{\xi,\eta}$ — матричные функции на $\mathbb{C}^g, g \ge 1$, со значениями в алгебре Ли $sL(2, \mathbb{C}[\xi,\eta])$ и $D_\eta$ — оператор дифференцирования функций на $\mathbb{C}^g$. Дано эффективное описание всех алгебраических соотношений между
гиперэллиптическими функциями Клейна и в качестве следствия указан вид матриц $L_{\xi}$ и $M_{\xi,\eta}$, при которых эта система явно интегрируется в функциях Клейна.
В первой части доклада будет представлена дифференциально-алгебраическая теория динамической системы Мамфорда, см. [3, 4]. Ключевой результат: конструкция дифференциальных уравнений, соответствующих $g$-стационарной иерархии
Кортевега—де Фриза и $g$-уравнению Новикова, не зависящая от теории гиперэллиптических кривых и абелевых функций на их якобианах.
Приложение: построение решений в случае особых гиперэллиптических кривых.
Во второй части доклада будет описана редукция динамической системы Мамфорда к динамической системе БЭЛ. Приложение: эффективная конструкция решений на основе многомерных уравнений теплопроводности в неголономном репере, см. [2].
Список литературы
Buchstaber V.M., Enolskii V. Z., Leikin D. V., Kleinian functions, hyperelliptic Jacobians and applications, Gordon and Breach, London, 1997
Бухштабер В. М., Бунькова Е.Ю., “Алгебры Ли операторов теплопроводности в неголономном репере”, Мат. заметки, 108:1 (2020), 17–32
Обратная связь: